Số tam giác – Wikipedia tiếng Việt

Sáu số tam giác đầu tiên

Số tam giác là số tự nhiên có giá trị bằng tổng các số điểm chấm xuất hiện trong một tam giác đều được sắp xếp bởi các điểm tương tự hình bên; số tam giác thứ n có giá trị bằng tổng các số tự nhiên từ 1 tới n

${\displaystyle T_n=1+2+3+\cdots <!--\; \cdots \; -->+(n-<!--\; -\; -->1)+n=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n}{2}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2}).n}$

Có thể xem đây như là số hạng của công thức, mỗi số tam giác là hệ số kép: Số tam giác thứ n là một số của sự ghép cặp được lựa chọn từ n+1 đối tượng. Trong dạng này giải quyết vấn đề bắt tay của việc đếm số lần bắt tay của mỗi người trong một căn phòng kín chứa n+1 người, đó là tổng số lần bắt tay 1 lần với mỗi người khác.

Chuỗi số tam giác (dãy số A000217 trong bảng OEIS) cho n = 1, 2, 3... là:::1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...

Quan hệ với các số hình học khác[sửa | sửa mã nguồn]

Số tam giác có quan hệ rất rộng với các loại Số hình học khác.
Đơn giản nhất là tổng của 2 số tam giác liên tiếp là một số chính phương. Về mặt đại số,

${displaystyle T_{n}+T_{n-1}=left({frac {n^{2}}{2}}+{frac {n}{2}}right)+left({frac {left(n-1right)^{2}}{2}}+{frac {n-1}{2}}right)=left({frac {n^{2}}{2}}+{frac {n}{2}}right)+left({frac {n^{2}}{2}}-{frac {n}{2}}right)=n^{2}.}$

Một sự lựa chọn, những số giống như vậy có thể biểu diễn bằng đồ hoạ:

16

25

Có vô số số tam giác đồng thời là số chính phương; Ví dụ: 1, 36
một vài trong số chúng có thể phát sinh từ công thức đệ quy đơn giản:

${\displaystyle S_{n+1}=4S_n\left(8S_n+1\right)}$ với ${displaystyle S_{1}=1}$

Tất cả các số chính phương tam giác được tìm ra từ công thức đệ quy:

${displaystyle S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2}$ với ${displaystyle S_{0}=0}$ và ${displaystyle S_{1}=1}$

Cũng vậy Số chính phương tam giác được xem như là tổng lập phương các số tự nhiên từ 1 tới n.

Tổng của n số tam giác đầu tiên là số tứ diện thứ n,:${displaystyle {frac {(n)(n+1)(n+2)}{6}}.}$

Tổng quát hơn, hiệu số giữa số đa giác m cạnh thứ n và số đa giác m+1 cạnh thứ n là số tam giác thứ (n-1). Ví dụ: Số thất giác thứ 6 (81) trừ Số lục giác thứ 6 (66) là số tam giác thứ 5, 15.

Số tam giác là bậc cơ sở cơ bản nhất của Công thức Faulhaber

Mọi số hoàn thiện chẵn đều là số tam giác (Được nhận bởi công thức ${\displaystyle M_n{2}^{n-<!--\; -\; -->1}=M_n(M_n+1)/2=T_{M_n}}$ khi ${displaystyle M_{n}}$ là Số nguyên tố Mersenne). Cho đến nay chưa có số hoàn thiện lẻ nào được tìm ra, vì thế mọi số hoàn thiện đều là số tam giác.

Wikimedia Commons có thư viện hình ảnh và phương tiện truyền tải về Số tam giác